Función transferencia

Modelos de sistemas lineales e invariantes en el tiempo¶

La forma típica de representar un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) SISO, es mediante el uso de la transformada de Laplace.

Sea un sistema con condiciones iniciales nulas, entonces el sistema se puede expresar matemáticamente como:

donde $Y(s)$ es la transformada de Laplace de la salida $y(t)$ para una entrada arbitraria $u(t)$, cuya transformada de Laplace es $U(s)$.

Notar que con esta definición, lo que se transforma al dominio de Laplace son las señales de entrada y salida. No es un sistema.

Obtención de la función transferencia de un sistema:¶

La función transferencia de un sistema se puede obtener de varias formas:

1. Aplicando la definición, es decir, aplicando $u(t)$ para medir $y(t)$, transformar ambas señales al dominio de Laplace y luego obtener $H(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}$. Esto no es práctico.

2. Aplicar un impulso $u(t)=\delta(t)$ y hacer las transformada de Laplace de la respuesta. Es un caso particular del método anterior haciendo que $U(s)=1$.

3. A partir de las ecuaciones temporales que dominan la dinámica del sistema se resuelve $\dfrac{Y(s)}{U(s)}$. Esta es la forma en que por lo general se obtienen las funciones transferencias de los sistemas en forma analítica.

Ejemplo: Sistema electromecánico (motor eléctrico)¶

Desarrollo¶

Supongamos CI nulas, es decir $i_a(t=0)=0$ y $(\theta_m(t=0)=0)$ entonces de las ecuaciones del motor obtenidas en ejemplos anteriores y aplicando la transformada de Laplace, tenemos:

agrupando las variables y despejando de la segunda ecuación la corriente $I_a(s)$:

Este sistema tiene 2 entradas, la entrada que podemos controlar $E_a(s)$ y la entrada de perturbación $T_r(s)$, por ser un sistema LTI podemos hallar las FTs de la siguiente forma:

luego,

luego considerando $T_r=0$, obtenemos la FT desde la entrada $E_a$ a la salida $\Theta_m$:

finalmente si consideramos que $E_a=0$, hallamos la FT desde la entrada de perturbación $T_r$ a la salida $\Theta_m$: