import scipy as sc
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

Señales en tiempo discreto¶

Están definidas sólo en valores discretos de tiempo. Los instantes de tiempo no necesariamente están equiespaciados.

En general, las señales en Tiempo Discreto (TD) aparecen cuando se muestrea una señal analógica, es decir, cuando se toman muestras de la señal a instantes discretos de tiempo.
Si los instantes de tiempo están equiespaciados, el muestreo se denomina periódico o uniforme.

$F_s$ : frecuencia de muestreo [Hz]
$T=\frac{1}{F_s}$ : período de muestreo [seg]
consideramos muestreo periódico o uniforme $\implies$ intervalos entre muestras sucesivas constante

Por lo tanto, la frecuencia $F$ (o $\Omega$ ) de una señal periódica en Tiempo Continuo, estará relacionada con la frecuencia $f$ (o $\omega$ ) de la correspondiente señal muestreada.

Consideremos que

x_a(t)=A\cos(2\pi Ft+\theta)

(2)

es muestreada a $F_s=\frac{1}{T}$

entonces se tiene

\begin{align*} x(n)\triangleq x_a(nT)&=A\cos(2\pi FnT+\theta)\\ &=A\cos\left(\dfrac{2\pi nF}{F_s}+\theta\right)\\ &=A\cos(2\pi fn+\theta) \end{align*}

(3)

donde:

\begin{align*} \Omega&=2\pi F\\ \omega&=2\pi f\\ &=\frac{\Omega}{F_s}=\Omega T \end{align*}

(4)

Periodicidad de una señal en tiempo discreto¶

En contraste con las señales sinusoidales en Tiempo Continuo, las señales senoidales en tiempo discreto verifican:

Una señal sinusoidal en Tiempo Discreto es periódica si y sólo si su frecuencia $f$ es un numero racional. Por definición $x(n)$ es periódica si y solo si $\exists$ $N>0$ tal que:
$x(n+N)=x(n)\quad \forall n$
(6)
que se verifica si y sólo si:
$2\pi fN=2\pi k \iff f=\frac{k}{N}$
(7)
El menor valor de $N$ que verifica esta propiedad se denomina período fundamental.

Para determinar el período fundamental $N$ de una senoide discreta, expresamos $f$ como cociente de dos números enteros primos relativos. Entonces el período $N$ es el denominador de esta expresión.

f_1=\frac{30}{60}\qquad \text{próxima a} \qquad f_2=\frac{29}{60}

(8)

N_1=2 \qquad \text{muy distinta} \qquad N_2=60

(9)

Aliasing¶

Señales sinusoidales en Tiempo Discreto cuyas frecuencias están separadas un múltiplo entero de $2\pi$ son idénticas.

\cos\left[(\omega + 2\pi)n+\theta\right] = \cos\left[\omega n + 2\pi n + \theta\right] = \cos\left[\omega n + \theta\right]

(10)

Como consecuencia todas las secuencias de sinusoides

x_k(n)=A\cos(\omega_k n+\theta)

(11)

donde: $\omega_k=\omega+2\pi k$ son indistinguibles (idénticas).

Mientras que las señales en tiempo continuo es:

-\infty\leq\Omega\leq\infty

(14)

-\infty\leq F\leq\infty

(15)

La máxima frecuencia de oscilación de una senoide en tiempo discreto es $\omega=\pi$ (o $f=0.5$ ) Consideremos que:

f=\frac{F}{F_s}

(16)

y que $f_{max}=0.5$ , que resulta que la máxima frecuencia $F_{max}$ de la señal que en tiempo discreto muestrearse con una frecuencia $F_s$ sin que se produzca aliasing es:

f_{max}=\frac{1}{2}=\frac{F_{max}}{F_s} \implies

(17)

En otras palabras, para evitar que se produzca aliasing y de esa forma poder reconstruir una seañal a partir de las muestras debemos seleccionar:

F_s>2F_{max}

(19)

donde $F_{max}$ es la máxima frecuencia contenida en la señal analógica.

Teorema de muestreo¶

donde

x_a(\frac{n}{F_s})\triangleq x_a(nT)=x(n)

(21)

son las muestras de $x_a(t)$ y $g(t)$ es la función de interpolación definida como

g(t)=\frac{\sin(2\pi Bt)}{2\pi Bt}

(22)

teorema de muestreo — Figure 2:Teorema de muestreo Nyquist-Shannon

Ejemplo 1¶

Determinar la tasa de muestreo de Nyquist

x_a(t)=3\cos(50\pi t)+10\sin(300\pi t) -\cos(100\pi t)

(23)

Solución¶

F_1=25 Hz \qquad F_2=150Hz \qquad F_3=50Hz

(24)

Veamos que $F_{max}=150Hz \implies F_N=300Hz$

Sin embargo, si muestreamos con $F_s=F_N$ , las muestras de la componente

10\sin(300\pi t) \qquad \text{resultan}\qquad 10\sin(\pi n)

(25)

que son idénticamente nulas y obviamente no puede recuperarse la señal a partir de las muestras!!

Ejemplo 2¶

Supongamos que desea generar y graficar las señales en tiempo continuo $x_1(t)$ y $x_2(t)$ definidas como:

\begin{align*} x_1(t)&=\cos(2\pi 50t)\\ x_2(t)&=\cos(2\pi 550t) \end{align*}

(26)

y las correspondientes señales en tiempo discreto que se obtienen muestreandolas con una frecuencia $F_s=500Hz$ . Notas que las dos señales tienen la misma señal muestreada

\begin{align*} x_1(n)&=\cos\left(\frac{2\pi 50n}{500}\right)\\ x_2(n)&=\cos\left(\frac{2\pi 550n}{500}\right)=\cos\left(2\pi n + \frac{2\pi 50 n}{500}\right)=x_1(n)\\ \end{align*}

(27)

Veamos el ejemplo en código, y grafiquemoslo:

t=np.linspace(0,0.02, 20001, endpoint=True)
n=np.linspace(0,10, 11, endpoint=True)
x1=np.cos(2*np.pi*50*t)
x2=np.cos(2*np.pi*550*t)

x1n=np.cos(2*np.pi*50/500*n)
x2n=np.cos(2*np.pi*550/500*n)

f, ax=plt.subplots(1,1, figsize=(8,3))
ax.plot(t, x1, color="b", label=r"$x_1(t)$")
ax.plot(t, x2, color="r", ls="--", label=r"$x_2(t)$")
ax.scatter(n*0.002, x1n, marker="o", facecolor="None", edgecolor="b", s=90, linewidths=2 , label=r"$x_{1n}(t)$") 
ax.scatter(n*0.002, x2n, marker="x", color="r", s=50, linewidths=3, label=r"$x_{2n}(t)$")
plt.legend()
ax.set_xlabel("Tiempo [seg]")
ax.set_ylabel("Amplitud")
ax.set_title("Señales $x_1(t)$ y $x_2(t)$ muestreadas: Aliasing")
ax.grid()