Respuesta de Sistemas LTI en Tiempo Discreto
Sistemas en Tiempo Discreto ¶ Respuesta de un sistema LTI en TD a entradas arbitrarias
En la figura anterior se muestra un sistema con una entrada u ( n ) u(n) u ( n ) y ( n ) y(n) y ( n )
Sea H H H
Resolviendo explícitamente la ecuación que describe el comportamiento entrada-salida. En general esta ecuación será de la forma:
y ( n ) = F [ y ( n − 1 ) , ⋯ , y ( n − N ) , u ( n ) , ⋯ , u ( n − M ) ] y(n)=F[y(n-1), \cdots, y(n-N), u(n), \cdots, u(n-M)] y ( n ) = F [ y ( n − 1 ) , ⋯ , y ( n − N ) , u ( n ) , ⋯ , u ( n − M )] donde F F F (1)
Para sistemas LTI, esta relación entrada salida toma la forma general:
y ( n ) = − ∑ k = 1 N a k . y ( n − k ) + ∑ k = 0 M b k . u ( n − k ) y(n)=-\sum_{k=1}^{N}a_k.y(n-k)+\sum_{k=0}^{M}b_k.u(n-k) y ( n ) = − k = 1 ∑ N a k . y ( n − k ) + k = 0 ∑ M b k . u ( n − k ) donde a k {a_k} a k b k {b_k} b k
La forma (2) ecuación en diferencias (de orden N).
Descomponiendo la señal de entrada en la combinación lineal de señales elementales , para las cuales sea “fácil” calcular la respuesta del sistema.
Luego, usando la propiedad de linealidad, la respuesta a la entrada arbitraria puede calcularse por superposición de las respuestas a las señales elementales.
Supongamos entonces:
y k ( n ) = H [ u k ( n ) ] y_k(n)=H[u_k(n)] y k ( n ) = H [ u k ( n )] Luego:
y ( n ) = H [ u ( n ) ] = H [ ∑ k c k . u k ( n ) ] = ∑ k H [ c k . u k ( n ) ] = ∑ k c k . H [ u k ( n ) ] = ∑ k c k . y k ( n ) \begin{align*}
y(n)&=H[u(n)]=H\left[\sum_k c_k.u_k(n)\right]\\
&=\sum_k H\left[c_k.u_k(n)\right]\\
&=\sum_k c_k.H\left[u_k(n)\right]\\
&=\sum_k c_k.y_k(n)
\end{align*} y ( n ) = H [ u ( n )] = H [ k ∑ c k . u k ( n ) ] = k ∑ H [ c k . u k ( n ) ] = k ∑ c k . H [ u k ( n ) ] = k ∑ c k . y k ( n ) Una señal elemental que facilita el análisis es el impulso unitario δ ( n ) \delta(n) δ ( n ) definido como:
δ ( n ) = { 1 si n = 0 0 si n ≠ 0 \delta(n)=\left\{
\begin{array}{cc}
1&\quad \text{si } n=0\\
0&\quad \text{si } n\neq 0
\end{array}
\right. δ ( n ) = { 1 0 si n = 0 si n = 0 que también es posible escribir como:
δ ( n − k ) = { 1 si n = k 0 si n ≠ k \delta(n-k)=\left\{
\begin{array}{cc}
1&\quad \text{si } n=k\\
0&\quad \text{si } n\neq k
\end{array}
\right. δ ( n − k ) = { 1 0 si n = k si n = k Si adoptamos:
u k ( n ) = δ ( n − k ) u_k(n)=\delta(n-k) u k ( n ) = δ ( n − k ) debemos encontrar los coeficiente c k c_k c k
u ( n ) = ∑ k c k . u k ( n ) = ∑ k c k . δ ( n − k ) \begin{align*}
u(n)&=\sum_k c_k.u_k(n)\\
&=\sum_k c_k.\delta(n-k)
\end{align*} u ( n ) = k ∑ c k . u k ( n ) = k ∑ c k . δ ( n − k ) Notando que:
x ( n ) δ ( n − k ) = x ( k ) . δ ( n − k ) x(n)\delta(n-k)=x(k).\delta(n-k) x ( n ) δ ( n − k ) = x ( k ) . δ ( n − k ) Podemos escribir:
u ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ u ( k ) . δ ( n − k ) u(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(k).\delta(n-k) u ( n ) = k = − ∞ ∑ ∞ u ( k ) . δ ( n − k ) La respuesta del sistema a la entrada u ( n ) u(n) u ( n )
y ( n ) = H [ u ( n ) ] = H [ ∑ k = − ∞ ∞ u ( k ) . δ ( k ) ] = ∑ k = − ∞ ∞ H [ u ( k ) . δ ( k ) ] = ∑ k = − ∞ ∞ u ( k ) . H [ δ ( k ) ] \begin{align*}
y(n)&=H\left[u(n)\right]=H\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty} u(k).\delta(k)\right]\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty} H\left[u(k).\delta(k)\right]\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty} u(k).H\left[\delta(k)\right]
\end{align*} y ( n ) = H [ u ( n ) ] = H [ k = − ∞ ∑ ∞ u ( k ) . δ ( k ) ] = k = − ∞ ∑ ∞ H [ u ( k ) . δ ( k ) ] = k = − ∞ ∑ ∞ u ( k ) . H [ δ ( k ) ] Definimos:
H [ δ ( n − k ) ] ≜ h ( n , k ) H\left[\delta(n-k)\right]\triangleq h(n,k) H [ δ ( n − k ) ] ≜ h ( n , k ) es la respuesta en el instante n n n k k k
Con lo que resulta:
y ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ u ( k ) . h ( n , k ) y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(k).h(n,k) y ( n ) = k = − ∞ ∑ ∞ u ( k ) . h ( n , k ) que es la suma de superposición.
Si el sistema es estacionario:
δ ( n ) ⟶ h ( n , 0 ) = h ( n ) \delta(n) \longrightarrow h(n,0)=h(n) δ ( n ) ⟶ h ( n , 0 ) = h ( n ) δ ( n − k ) ⟶ h ( n , k ) = h ( n − k ) \delta(n-k) \longrightarrow h(n,k)=h(n-k) δ ( n − k ) ⟶ h ( n , k ) = h ( n − k ) Con lo que resulta:
y ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ u ( k ) . h ( n − k ) y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(k).h(n-k) y ( n ) = k = − ∞ ∑ ∞ u ( k ) . h ( n − k ) que es la suma de convolución .
Denotamos:
u ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ u ( k ) . h ( n − k ) u(n)*h(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}u(k).h(n-k) u ( n ) ∗ h ( n ) = k = − ∞ ∑ ∞ u ( k ) . h ( n − k ) Ejercicios ¶ Problema 1 ¶ Se debe determinar la respuesta del sistema FIR (Finite Impulse Response) lineal e invariante en el tiempo con respuesta al impulso:
h ( n ) = 1 , 2 , 1 , − 1 h(n)={1,2,1,-1} h ( n ) = 1 , 2 , 1 , − 1 a la entrada:
u ( n ) = 1 , 2 , 3 , 1 u(n)={1,2,3,1} u ( n ) = 1 , 2 , 3 , 1 Problema 2 ¶ h ( n ) = a n μ ( n ) , 0 < a < 1 h(n)=a^n\mu(n), \quad 0<a<1 h ( n ) = a n μ ( n ) , 0 < a < 1
u ( n ) = μ ( n ) u(n)=\mu(n) u ( n ) = μ ( n )
La respuesta del sistema resulta:
y ( n ) = h ( n ) ∗ u ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ h ( k ) u ( n − k ) y(n)=h(n)*u(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k)u(n-k) y ( n ) = h ( n ) ∗ u ( n ) = k = − ∞ ∑ ∞ h ( k ) u ( n − k ) Esto nos queda para este caso:
y ( n ) = h ( n ) ∗ u ( n ) = ∑ k = 0 n a k = 1 − a n + 1 1 − a μ ( n ) , ∀ n y(n)=h(n)*u(n)=\sum_{k=0}^{n} a^k=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\mu(n), \quad \forall n y ( n ) = h ( n ) ∗ u ( n ) = k = 0 ∑ n a k = 1 − a 1 − a n + 1 μ ( n ) , ∀ n Suma finita de tipo geométrica.
