Correlación en tiempo discreto
Correlación de señales en tiempo discreto ¶ la correlación de dos señales mide el grado de similitud de las mismas.
aplicaciones en radar, sonar, comunicaciones digitales, reconocimiento de voz, etc.
Ejemplo: radar ¶ y ( n ) = α x ( n − D ) + W ( n ) y(n)=\alpha x(n-D)+W(n) y ( n ) = αx ( n − D ) + W ( n ) donde α \alpha α W ( n ) W(n) W ( n ) D D D
Problema de radar : determinar si existe un blanco, y si existe determinar el retardo D D D
Si la componente de ruido es muy grande, la simple inspección de y ( n ) y(n) y ( n )
Sin embargo, la correlación permitirá extraer esta información de y ( n ) y(n) y ( n )
Secuencia de auto-correlación y correlación cruzada ¶ Supongamos dos señales x ( n ) x(n) x ( n ) y ( n ) y(n) y ( n ) secuencia de correlación cruzada de las dos señales se define como:
r x y ( l ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) y ( n − l ) l = 0 , ± 1 , ± 2 , … r_{xy}(l)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)y(n-l)\quad l=0,\pm 1, \pm 2, \ldots r x y ( l ) = n = − ∞ ∑ ∞ x ( n ) y ( n − l ) l = 0 , ± 1 , ± 2 , … o equivalentemente
r x y ( l ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n + l ) y ( n ) , l = ± 1 , ± 2 , … r_{xy}(l)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n+l)y(n), \quad l=\pm 1, \pm 2, \ldots r x y ( l ) = n = − ∞ ∑ ∞ x ( n + l ) y ( n ) , l = ± 1 , ± 2 , … Similarmente se definen
r y x ( l ) = ∑ n = − ∞ ∞ y ( n ) x ( n − l ) l = 0 , ± 1 , ± 2 , … r_{yx}(l)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}y(n)x(n-l)\quad l=0,\pm 1, \pm 2, \ldots r y x ( l ) = n = − ∞ ∑ ∞ y ( n ) x ( n − l ) l = 0 , ± 1 , ± 2 , … o equivalentemente
r y x ( l ) = ∑ n = − ∞ ∞ y ( n + l ) x ( n ) , l = ± 1 , ± 2 , … r_{yx}(l)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}y(n+l)x(n), \quad l=\pm 1, \pm 2, \ldots r y x ( l ) = n = − ∞ ∑ ∞ y ( n + l ) x ( n ) , l = ± 1 , ± 2 , … Es fácil verificar que
r x y ( l ) = r y x ( − l ) r_{xy}(l)=r_{yx}(-l) r x y ( l ) = r y x ( − l ) por lo que r x y ( l ) r_{xy}(l) r x y ( l ) r y x ( l ) r_{yx}(l) r y x ( l )
Puede probarse que:
r x y = x ( l ) y ( − l ) r_{xy}=x(l)y(-l) r x y = x ( l ) y ( − l ) r x x ( l ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) x ( n − l ) l = 0 , ± 1 , ± 2 , … r_{xx}(l)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)x(n-l)\quad l=0,\pm 1, \pm 2, \ldots r xx ( l ) = n = − ∞ ∑ ∞ x ( n ) x ( n − l ) l = 0 , ± 1 , ± 2 , … o equivalentemente
r x x ( l ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n + l ) x ( n ) , l = ± 1 , ± 2 , … r_{xx}(l)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n+l)x(n), \quad l=\pm 1, \pm 2, \ldots r xx ( l ) = n = − ∞ ∑ ∞ x ( n + l ) x ( n ) , l = ± 1 , ± 2 , … Si x ( n ) x(n) x ( n ) y ( n ) y(n) y ( n ) N N N
r x y ( l ) = ∑ n = i N − ∣ k ∣ − 1 x ( n ) y ( n − l ) r_{xy}(l)=\sum_{n=i}^{N-|k|-1}x(n)y(n-l) r x y ( l ) = n = i ∑ N − ∣ k ∣ − 1 x ( n ) y ( n − l ) y
r x x ( l ) = ∑ n = i N − ∣ k ∣ − 1 x ( n ) x ( n − l ) r_{xx}(l)=\sum_{n=i}^{N-|k|-1}x(n)x(n-l) r xx ( l ) = n = i ∑ N − ∣ k ∣ − 1 x ( n ) x ( n − l ) donde:
i = l , k = 0 para l ≥ 0 i = 0 , k = l para l < 0 \begin{align*}
i=l, k=0 &\quad \text{para } l\geq 0\\
i=0, k=l &\quad \text{para } l<0
\end{align*} i = l , k = 0 i = 0 , k = l para l ≥ 0 para l < 0 Correlación de señales de potencia ¶ r x y ( l ) = lim M → ∞ 1 2 M + 1 ∑ n = − M M x ( n ) y ( n − l ) r_{xy}(l)=\lim_{M\rightarrow \infty} \frac{1}{2M+1}\sum_{n=-M}^{M}x(n)y(n-l) r x y ( l ) = M → ∞ lim 2 M + 1 1 n = − M ∑ M x ( n ) y ( n − l ) r x x ( l ) = lim M → ∞ 1 2 M + 1 ∑ n = − M M x ( n ) x ( n − l ) r_{xx}(l)=\lim_{M\rightarrow \infty} \frac{1}{2M+1}\sum_{n=-M}^{M}x(n)x(n-l) r xx ( l ) = M → ∞ lim 2 M + 1 1 n = − M ∑ M x ( n ) x ( n − l ) r x y ( l ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) y ( n − l ) r_{xy}(l)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)y(n-l) r x y ( l ) = N 1 n = 0 ∑ N − 1 x ( n ) y ( n − l ) r x x ( l ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) x ( n − l ) r_{xx}(l)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)x(n-l) r xx ( l ) = N 1 n = 0 ∑ N − 1 x ( n ) x ( n − l ) Secuencias de correlación de Entrada/Salida ¶ La respuesta a una entrada arbitraria u ( n ) u(n) u ( n )
y ( n ) = h ( n ) ∗ u ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ h ( k ) u ( n − k ) \begin{align*}
y(n)&=h(n)*u(n)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k)u(n-k)
\end{align*} y ( n ) = h ( n ) ∗ u ( n ) = k = − ∞ ∑ ∞ h ( k ) u ( n − k ) La correlación entre la entrada y la salida es:
r y u ( l ) = y ( l ) ∗ u ( − l ) = h ( l ) ∗ u ( l ) ∗ u ( − l ) = h ( l ) ∗ r u u ( l ) \begin{align*}
r_{yu}(l)&=y(l)*u(-l)\\
&=h(l)*u(l)*u(-l)\\
&=h(l)*r_{uu}(l)
\end{align*} r y u ( l ) = y ( l ) ∗ u ( − l ) = h ( l ) ∗ u ( l ) ∗ u ( − l ) = h ( l ) ∗ r uu ( l ) Por lo que resulta:
r y u ( l ) = h ( l ) ∗ r u u ( l ) r_{yu}(l)=h(l)*r_{uu}(l) r y u ( l ) = h ( l ) ∗ r uu ( l ) La relación anterior se puede emplear para la estimación de un número finito de términos de la respuesta al impulso h ( n ) {h(n)} h ( n ) r y u ( l ) r_{yu}(l) r y u ( l ) r u u ( l ) r_{uu}(l) r uu ( l )
La autocorrelación de la salida resulta:
r y y ( l ) = y ( l ) ∗ y ( − l ) = [ h ( l ) ∗ u ( l ) ] ∗ [ h ( − l ) ∗ u ( − l ) ] = [ h ( l ) ∗ h ( − l ) ] ∗ [ u ( l ) ∗ u ( − l ) ] = r h h ( l ) ∗ r u u ( l ) \begin{align*}
r_{yy}(l)&=y(l)*y(-l)\\
&=[h(l)*u(l)]*[h(-l)*u(-l)]\\
&=[h(l)*h(-l)]*[u(l)*u(-l)]\\
&=r_{hh}(l)*r_{uu}(l)
\end{align*} r yy ( l ) = y ( l ) ∗ y ( − l ) = [ h ( l ) ∗ u ( l )] ∗ [ h ( − l ) ∗ u ( − l )] = [ h ( l ) ∗ h ( − l )] ∗ [ u ( l ) ∗ u ( − l )] = r hh ( l ) ∗ r uu ( l ) Nota r h h ( l ) r_{hh}(l) r hh ( l )
Propiedades de la autocorrelación ¶ r x x ( l ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n + l ) x ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) x ( m − l ) = r x x ( − l ) \begin{align*}
r_{xx}(l)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n+l)x(n)\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)x(m-l)
&=r_{xx}(-l)
\end{align*} r xx ( l ) = n = − ∞ ∑ ∞ x ( n + l ) x ( n ) = m = − ∞ ∑ ∞ x ( m ) x ( m − l ) = r xx ( − l ) donde se hizo el cambio de variables m = n + l m=n+l m = n + l
Calculemos la autocorrelación para l = 0 l=0 l = 0
r x x = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n + 0 ) x ( n ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) 2 = E x r_{xx}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n+0)x(n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)^2=E_x r xx = n = − ∞ ∑ ∞ x ( n + 0 ) x ( n ) = n = − ∞ ∑ ∞ x ( n ) 2 = E x que es la energía de la señal .
Sea x ( n ) x(n) x ( n ) N N N
x ( n ) = x ( n + N ) x(n)=x(n+N) x ( n ) = x ( n + N ) Luego, la autocorrelación resulta
r x x ( l + N ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n + N + l ) x ( n ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n + l ) x ( n ) = r x x ( l ) \begin{align*}
r_{xx}(l+N)&=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n+N+l)x(n)\\
&=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n+l)x(n)\\
&=r_{xx}(l)
\end{align*} r xx ( l + N ) = N 1 n = 0 ∑ N − 1 x ( n + N + l ) x ( n ) = N 1 n = 0 ∑ N − 1 x ( n + l ) x ( n ) = r xx ( l ) Es decir, es periódica con periodo N.