Definiciones de Sistemas y Señales

Contenido

Definiciones de Sistemas y Señales#

Sistema: conjunto de componentes que interactúan entre si.
Señal: es una función, típicamente del tiempo, y posiblemente de alguna otra variable (como ser coordenadas espaciales) que representa alguna magnitud de interés asociada con el sistema.

Señales#

Ejemplos de señal#

Señales de Voz (variable independiente: tiempo)#

Podemos escuchar el sonido aquí que «visualizaremos» luego en una figura aquí:

Señales en un electrocardiógrafo, o electroencefalógrafo (variable independiente tiempo)#

Señal de Electrocardiograma — Figura 2 Señal de un electrocardiograma#

Imagen digital (dos variables independientes: coordenadas espaciales del pixel)#

Imagen Digital (256x256) pixels — Figura 3 Señal de imagen#

Definiciones relativas a las señales#

La interacción de los componentes en el sistema genera señales observables y no observables. Las observables son las que efectivamente se miden.
Las señales observables que son de nuestro interés son usualmente denominadas salidas del sistema y las denotaremos con \(y\).
El sistema está también afectado por estímulos externos. Las señales externas que pueden ser manipuladas son usualmente llamadas entradas, que denotamos con \(u\)
Las señales externas que no pueden ser manipuladas son llamadas perturbaciones que denotaremos en general con \(d\).
Las perturbaciones suelen dividirse en aquellas que pueden medirse directamente y aquellas que se ponen en evidencia sólo a traves de su influencia en las salidas.

Señales importantes#

Impulso unitario#

Esta señal impulso \(\rho(t)\) es de la siguiente forma:

Amplitud \(\dfrac{1}{T}\) en \(t=0\).
Duración \(T\).
\(T\rightarrow 0.\)

Es decir es una señal que tiene un area bajo su curva (integral) igual 1, tiene un duración que tiende a 0, y una amplitud que tiende a infinito.

Físicamente esta señal es irrealizable. Sin embargo modela bien la física en algunos eventos cotidianos, como puede ser la fuerza aplicada un cuerpo cuando se le da un martillazo, el chispazo ocurrido cuando se desenchufa un artefacto eléctrico (modela la tensión), etc.

Señal escalón#

La señal escalón se define de la siguiente manera:

\[\begin{split}\mu(t) = \left\{ \begin{eqnarray} 0\quad &\quad \text{si}& t<0\\ 1\quad &\quad \text{si} &t\geq 0\\ \end{eqnarray} \right.\end{split}\]

Relación entre el escalón y el impulso unitario#

La relación entre el impulso y el escalón es la siguiente:

\[\frac{d\mu(t)}{dt} = \rho(t)\]

Es decir, la derivada de la función escalón es la función impulso unitario.

Sistemas#

Esquema básico de un sistema#

Esquema de sistema — Figura 4 Sistema General#

Los sistemas no necesariamente están restringidos a sistemas físicos. Pueden ser biológicos, económicos, computacionales, informáticos, sociales, etc.

Ejemplos de sistema#

Sistema de Calefacción Sistema de Calefacción Solar Solar#

Esquema de calefacción solar — Figura 6 Esquema de sistema de calefacción solar#

Ecosistema#

Ambiente aislado compuesto por dos clases de individuos: presas (P: población de presas) y depredadores (D: población de depredadores).

Hipótesis del modelo:

En ausencia de depredadores (D=0), la población de presas crece exponencialmente.
Los depredadores sólo se alimentan de presas, por lo que en ausencia de presas (P=0), la población de depredadores se extingue exponencialmente.

Un posible modelo que verifica estas hipótesis es el de Lotka-Volterra

\[\begin{split} \begin{eqnarray} \frac{dP(t)}{dt}&=\alpha_1P(t)-\alpha_2D(t)P(t)\\ \frac{dD(t)}{dt}&=\alpha_3P(t)D(t)-\alpha_4D(t) \end{eqnarray} \end{split}\]

Propiedades de los sistemas#

Linealidad#

Un sistema es lineal si verifica el Principio de Superposición, tanto para entradas como para condiciones iniciales.

Si para una entrada \(u_1\) aplicada en el instante \(t_0\), con el sistema en un estado inicial \(\sum_0\), la salida es \(y_1\) , y para una entrada \(u_2\) aplicada en el instante \(t_0\), con el sistema en un estado inicial \(\sum_0\), la salida es \(y_2\) entonces si se aplica una \(c_1u_1 +c_2u_2\) entrada en el instante \(t_0\), con el sistema en un estado inicial \(\sum_0\), la salida será \(c_1y_1 +c_2y_2\)

Hipótesis de superposición — Figura 7 Hipótesis linealidad#

Conclusión superposición — Figura 8 Requerimiento de linealidad#

Es claro que esta propiedad, como fue definida, es imposible de verificar en la práctica, ya que no se pueden realizar los ensayos propuestos en el mismo período de tiempo.
Debemos asumir entonces que el sistema no cambia con el tiempo (propiedad de estacionariedad o invariancia en el tiempo, que definiremos a continuación), de manera que podemos realizar los ensayos a distintos tiempos a partir del sistema en el mismo estado inicial.
Un sistema que no verifica el principio de Superposición se denomina no lineal.

Invariancia en el tiempo#

Un sistema es invariante en el tiempo si su salida es siempre la misma cada vez que se aplique la misma entrada (para las mismas condiciones iniciales), sin importar el instante en que se aplique la entrada. Para dar una definición más precisa, es necesario definir el operador desplazamiento temporal que notaremos: \(z_{\Delta}\) que aplicado a una función del tiempo, la desplaza temporalmente un intervalo \(\Delta\), es decir:

Desplazamiento temporal#

Por lo tanto, el sistema es estacionario estacionario si para una entrada \(u(t)\) aplicada en el instante \(t_0\) resulta la salida es \(y(t),\) entonces para una entrada = \(z^\Delta u(t)\) aplicada en \(t_0+\Delta\) la salida es \(\tilde y(t) =z^\Delta y(t)\)

Principio de estacionariedad o invariancia en el tiempo#

Sistemas SISO (Single-Input/Single-Output)#

Un sistema con una única entrada y una única salida se denominan SISO

Sistemas MIMO (Multiple-Input/Multiple-Output)#

Sistemas con múltiples entradas y múltiples salidas se denominan MIMO

Existen ademas las variedades SIMO y MISO, que dejamos al lector que intuya a que se refieren esos nombres.

Sistemas Estáticos y Dinámicos#

Un sistema en el cual la salida en el instante \(t\) depende exclusivamente de la entrada en ese instante \(t\) es llamado Sistema Estático o sin memoria. En contraposición, un Sistema Dinámico es uno en el cual la salida en el instante \(t\) depende también de valores pasados y/o futuros de la entrada, además del valor en \(t\).

Los sistemas que estudiaremos en esta materia son los sistemas dinámicos, es decir que el valor de la salida actual depende no solo de las entradas actuales sino también de los valores de la entradas pasadas. Aunque diseñaremos también algunos controladores que pueden considerarse estáticos, es decir que cuya salida solo depende de valores presentes de la entrada del controlador

Sistemas Causales y No causales#

Un sistema es causal si su respuesta a una entrada no depende de valores futuros de esa entrada y/o valores futuros de salidas. Un sistema que no verifica esta propiedad es llamado no causal. En particular un sistema se dice anticausal si su respuesta a una entrada depende exclusivamente de valores futuros de esa entrada y/o valores futuros de salidas.

Todos los sistemas físicos son causales.

Caracterización de tipos de sistemas#

Desde el punto de vista de las ecuaciones matemáticas los sistemas se puedes clasificar como:

Tipo de Sistema	Ecuaciones del Modelo
Lineal	Ecs. Lineales
No Lineal	Ecs. no Lineales
Invariante en el tiempo	Ecs. a coeficientes constantes
Variante en el tiempo	Ecs. a coeficientes en función del tiempo
Parámetros concentrados	Ecs. dif. Ordinarias
Parámetros distribuidos	Ecs. dif. Parciales
de tiempo continuo	Ecs. diferenciales
de tiempo discreto	Ecs. en diferencias
SISO	Número de Ecs. del modelo
MIMO
Determinístico	x (variable determinística)
Estocástico	\(<x>\), \(\sigma\) (valor medio y desvío estándar)

Ejemplo completo de un sistema electromecánico (motor eléctrico)#

Esquema de la idealización física del motor eléctrico#

Diagrama del sistema desde el punto de vista de entradas y salidas#

Esquema Rotacional — Figura 12 Esquema entrada/salida del motor de corriente continua#

Descripción del motor y su funcionamiento#

A continuación se deja un video describiendo las partes de un motor y la forma de funcionamiento.

Modelado del motor#

Los modelos matemáticos proveen de una predicción de como el sistema se va a comportar o evolucionar. En general los modelos matemáticos NO son exactos. Sin embargo, serán útiles para el diseño de los sistemas de control, debido a que este deberá proveer de la robustez requerida mediante el uso de la realimentación.

Algunas simplificaciones que consideraremos para este modelo son:

La resistencia, inductancia, masa (o momento de inercia) y «viscosidad» son constantes. Es decir, no contemplaremos cambios de ningún tipo, como por ejemplo el efecto de la temperatura.
El rozamiento viscoso es lineal. Es decir, la viscosidad es es proporcional a la velocidad (\(\tau_d=D_m*\omega\)).

Desarrollo de las ecuaciones#

El circuito eléctrico se relaciona con el mecánico, y viceversa, por medio de la siguientes ecuaciones:

\[\begin{split} \begin{aligned} V_b(t) &= K_b \frac{d\theta_m(t)}{dt} &\text{(fuerza contraelectromotriz)}\\ \tau_m(t) &= K_t i_a(t) &\text{(torque del motor)} \end{aligned} \end{split}\]

para las mismas unidades \(K_t = K_b\)

\[\begin{split} \begin{aligned} R_a i_a(t) + L_a \frac{di_a(t)}{dt} + V_b(t) &= e_a(t) & \text{(Ec. de la malla eléctrica de la armadura)}\\ \tau_m(t) - \tau_r(t) - D_m\frac{d\theta_m(t)}{dt} &= J_m \frac{d^2\theta_m(t)}{dt^2} & \text{(Ecs. mecánica)} \end{aligned} \end{split}\]

Reemplazando obtenemos el sistema de ecuaciones de parámetros concentrados (no depende de la ubicación espacial de los componentes del sistema), lineal (cumple con superposición) e invariante en el tiempo (su comportamiento no cambia con el tiempo). Como el sistema es lineal e invariante en el tiempo se dice que el sistema es LTI (linear time invariant).

\[\begin{split} \begin{aligned} R_a i_a(t) + L_a \frac{di_a(t)}{dt} + K_b \frac{d\theta_m(t)}{dt} &= e_a(t) \\ K_t i_a(t) - \tau_r(t) - D_m\frac{d\theta_m(t)}{dt} &= J_m \frac{d^2\theta_m(t)}{dt^2} \end{aligned} \end{split}\]