Inserción de referencias

Comenzaremos nuestro estudio agreando referencias a un sistema controlado mediante la ley de control \(u(t)=\mathbf{Kx}(t)\).
Siguiendo la idea de control clásico uno podría hacer \(u=-\mathbf K \mathbf x + r\), siendo \(r\) la referencia. Sin embargo esto en general llevaría a tener errores de estados estacionarios muy grandes.

La forma correcta sería tratar de calcular los estados y la entrada en estado estacionario(\(t \rightarrow \infty\)). Si entramos con el valor de estado estacionario de \(u\) y hacemos que para \(t \rightarrow \infty\) la realimentación sea 0, entonces nos aseguramos que el sistema tendrá error nulo. Matemáticamente esto lo podemos lograr haciendo que:

\[u=u_{ss}-\mathbf K(\mathbf x - \mathbf{x_ss})\]

Para resolver cuanto vales \(u_ss\) y \(\mathbf{x_ss}\) debemos expresar las ecuaciones de estado con las condiciones de estado estacionario, es decir:

\[\begin{split} \begin{align*} 0&=&\mathbf{Ax_{ss}}+\mathbf{B}u_{ss} \\ yss&=&\mathbf{Cx_{ss}}+\mathbf{D}u_{ss} \end{align*} \end{split}\]

Entonces se quiere resolver los valores para los cuales \(y_{ss }=r_{ss}\) para cualquier \(y_ss\). Para hacer esto hacemos que \(\mathbf{x_{ss}}=\mathbf{N_x}r_{ss}\) y \(u_{ss}=N_ur_{ss}\). Haciendo esto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} \mathbf A & \mathbf B\\ \mathbf C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{N_x}\\ N_u\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \mathbf 0\\ 1\end{bmatrix} \end{split}\]

De esta manera

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \mathbf{N_x}\\ N_u\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf A & \mathbf B\\ \mathbf C & D \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \mathbf 0\\ 1\end{bmatrix}. \end{split}\]

Con estos valores, entonces podemos introducir la referencia (de forma «no robusta») haciendo:

\[u=N_ur-\mathbf {K}(\mathbf{x} - \mathbf{N_x}r)\]

Sabiendo cuanto vale la ley de control, es decir \(\mathbf{K}\), podemos simplificar la expresión anterior de la siguiente manera:

\[u=-\mathbf{Kx}+\bar Nr\]

donde \(\bar N = N_u+\mathbf{KN_x}\)

Para poder ver el esfuerzo de control en la salida del sistema que agreguemos tenemos que expresar las ecuaciones de estado en función de las entradas (ahora la entrada es \(r\)) y los estados (siguen siendo \(\mathbf{x}\)). Entonces la ecuación de salida que tengo que agregar es

\[u=-\mathbf{K x}+\bar Nr\]

Funciones para el cálculo del seguimiento a referencia

Con esta función podemos calcular las matrices para el seguimiento a referencia:

def seguimiento_referencia(sys):
    aux1=np.vstack((np.hstack((sys.A,sys.B)),
                   np.hstack((sys.C,sys.D))))
    n=np.shape(sys.A)[0]
    aux2=np.vstack((np.zeros((n,1)),[1]))
    N=np.linalg.inv(aux1)@aux2
    Nx=N[0:n]
    Nu=N[n]
    return Nx, Nu

Para simplificar la implementación podemos usar solo esta ganancia:

def calculate_Nbar(Nx,Nu,K):
    return Nu+K@Nx

Inserción de referencia a un controlador con estimado en forma general

Recordando la ecuación del estimador con la ley de control, resulta la ecuación:

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{ \hat{ \mathbf{x}}}(t)&= (\mathbf A-\mathbf{BK-LC}) \hat{\mathbf x}(t)+\mathbf Ly(t)\\ u(t)&=-\mathbf{K}\mathbf{x}(t) + \mathbf 0 u(t) \end{align*} \end{split}\]

Podemos ver que este sistema, que es un controlador, tiene un sola entrada, que es la salida (o medición) de nuestra planta a controlar. A este tipo de controlador, que solo tiene como objetivo mantener al sistema controlador en su punto de trabajo con un determinado comportamiento dinámico se lo conoce como regulador.

Para darle la posibilidad al sistema controlado de ser un servosistema controlador por un servoregulador, es decir que tenga la capacidad de seguir referencias, es necesario de alguna manera agregar al controlador la entrada referencia.

Es importante destacar que el comportamiento dinámico del sistema controlador no debe cambiar. Es decir la matriz \(\mathbf A\) del sistema controlado (a lazo cerrado) debe ser la misma que antes de introducir la referencia.

Por lo tanto, la forma general de introducir la referencia sin modificar las dinámicas obtenidas anteriormente es a la ecuación anterior agregarle el término de entrada a la referencia. Es decir:

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{ \hat{ \mathbf{x}}}(t)&= (\mathbf A-\mathbf{BK-LC}) \hat{\mathbf x}(t)+\mathbf Ly(t) + \mathbf M r(t)\\ u(t)&=-\mathbf{K}\mathbf{x}(t) + \mathbf 0 u(t)+ N r(t) \end{align*} \end{split}\]

La pregunta ahora es como elegir \(\mathbf M\) y \(N\) para que la inserción de referencias tenga una configuración correcta.

En este curso presentaré 2 formas:

• Inserción de referencias para estimador autónomo: para esto se elige \(\mathbf M\) y \(N\) de forma tal que la dinámica del error de estimación no dependa de ls referencias. Es decir, el error de la estimación no se verá afectado cuando se cambie la referencia.

• Inserción de referencias mediante error de seguimiento: esto transforma nuevamente a nuestro sistema en uno de una sola entrada \(y(t)-r(t)\). Este sistema es más parecido al controlador/compensador clásico ya que aparece la resta \(y(t)-r(t)\) a la entrada. Esta forma de introducir la referencia en general tiene una peor performance que cuando se usa la anterior. Sin embargo es util cuando se mide la diferencia entre los que se quiere y lo que se tiene. Es decir, el sensor nos da

• Inserción de referencias mediante error de seguimiento: esto transforma nuevamente a nuestro sistema en uno de una sola entrada \(y(t)-r(t)\). Este sistema es más parecido al controlador/compensador clásico ya que aparece la resta \(y(t)-r(t)\) a la entrada. Esta forma de introducir la referencia en general tiene una peor performance que cuando se usa la anterior. Sin embargo es util cuando se mide la diferencia entre los que se quiere y lo que se tiene. Es decir, el sensor nos da directamente \(y(t)-r(t)\). En cualquier otro caso es preferible la inserción de referencia para lograr el estimador autonomo.

Estimador completo autónomo

Recordando la ecuación del estimador completo tenemos que:

\[\dot{ \hat{ \mathbf{x}}}(t)= (\mathbf A-\mathbf{BK-LC}) \hat{\mathbf x}(t)+\mathbf Ly(t) + \mathbf M r(t)\]

y

\[\dot{ \mathbf{x}}(t)= \mathbf A\mathbf x(t) +\mathbf{B} (-\mathbf K\hat{\mathbf{x}}(t)+ N r(t)) \]

Como queremos que el error de estimación \(\dot{ \mathbf{x}}(t) - \dot{ \hat{ \mathbf{x}}}(t)\) no dependa de \(r(t)\), entonces tenemos entonces cuando la resta de las dos ecuaciones anteriores se deben anular los términos dependientes de \(r(t)\). Entonces, por inspección notamos que:

\[ \mathbf M = \mathbf{B} N \]

Se puede demostrar que para que el error en estado estacionario sea cero (de forma «no robusta»), \(N=\bar N\) sacada anteriormente.

Entonces:

\[\mathbf M = \mathbf{B} \bar N\]

Estimador por error de seguimiento

Se tiene que elegir \(\mathbf M\) y \(N\) talque se la entradas queden de la forma \(y(t)-r(t)\). Inspeccionado las ecuaciones del controlador podemos notar que si elegimos:

\[\mathbf M = -\mathbf L\]

y

\[N=0\]

Entonces se tiene:

\[\dot{ \hat{ \mathbf{x}}}(t)= (\mathbf A-\mathbf{BK-LC}) \hat{\mathbf x}(t)+\mathbf L (y(t) - \mathbf r(t))\]

y

\[\dot{ \mathbf{x}}(t)= \mathbf A\mathbf x(t) +\mathbf{B} (-\mathbf K\hat{\mathbf{x}}(t)\]

Por lo que ahora nuestro sistema controlador solo tiene una entrada igual a \(y(t)-r(t)\).

Estimador reducido autónomo

Las ecuaciones para el sistema compensador con estimador reducido resutlaron:

\[\begin{split}\begin{align*} \dot{\mathbf x}_C &= \mathbf A_r \mathbf x_C + \mathbf B_r y(t)\\ u(t) &= \mathbf C_r \mathbf x_C + \mathbf D_r y(t) \end{align*}\end{split}\]

Donde las matrices que definen el espacio de estado son:

\[\begin{split} \begin{align*} \mathbf A_r &= (\mathbf {A}_{bb}-\mathbf L\mathbf A_{ab})-(\mathbf B_b- \mathbf L B_a)\mathbf K_B \\ \mathbf B_r &= \mathbf {A}_r \mathbf L +\mathbf A_{ba}-\mathbf L \mathbf A_{aa} - (\mathbf B_b- \mathbf L B_a) K_a\\ \mathbf C_r &= -\mathbf K_b\\ \mathbf D_r &= -K_a -\mathbf K_b \mathbf L \end{align*} \end{split}\]

Si ahora le agregamos la referencia tenemos:

\[\begin{split}\begin{align*} \dot{\mathbf x}_C &= \mathbf A_r \mathbf x_C + \mathbf B_r y(t) + \mathbf M_r r(t)\\ u(t) &= \mathbf C_r \mathbf x_C + \mathbf D_r y(t) + N_r r(t) \end{align*}\end{split}\]

Por lo tanto la ecuación de la entrada resulta:

\[u(t) =-\mathbf K _b\mathbf x_C(t) +(-K_a - \mathbf K _b \mathbf L) y(t) + N_rr(t) \]

De forma análoga a la anterior tenemos que el error estimación de \(\mathbf x_b(t) - \hat {\mathbf x}_b(t)\), no debe depender de \(r(t)\). Sin embargo, el trabajo algebraico para obtener explicitamente cuando debe valor \(\mathbf M\) es bastante tedioso. Por lo tanto aquí se presenta el resultado:

\[\mathbf M = (\mathbf B_b - \mathbf L \mathbf B_a)N\]

El valor de \(N\) para que el sistema tenga error cero en estado estacionario (de forma no robusta), debe ser \(N=\bar N\).